בדיקת נגזרת מכוונת בכל כיוון

מבוא

כאשר לומדים חשבון ובידול, חשוב להבין האם לפונקציה יש נגזרת מכוונת לכל כיוון. מושג זה עוזר לנו לקבוע אם פונקציה ניתנת להבדלה בנקודה נתונה ומספק תובנות לגבי התנהגותה.

הבנת נגזרת מכוונת

הנגזרת המכוונת של פונקציה בנקודה מסוימת מודדת את קצב השינוי של הפונקציה בכיוון מסוים. זה אומר לנו איך הפונקציה מתנהגת כשהיא נעה לאורך נתיב מסוים מהנקודה הנתונה.

הגדרה של נגזרת מכוונת

הנגזרת המכוונת של פונקציה f(x, y) בנקודה P(x0, y0) בכיוון של וקטור יחידה u = (a, b) ניתנת על ידי:

Du f(x0, y0) = af x (x0, y0) + bf y (x0, y0)

כאן, f _x ו- f _y מייצגים את הנגזרות החלקיות של f ביחס ל- x ו- y, בהתאמה.

בדיקת נגזרת מכוונת

כדי לבדוק אם לפונקציה יש נגזרת מכוונת בכיוון כלשהו, עלינו לוודא שהנגזרות החלקיות f _x ו- f _y קיימות והן רציפות בנקודה הנתונה. אם שני התנאים מתקיימים, לפונקציה יש נגזרת מכוונת לכל כיוון.

שלבים לאימות נגזרת מכוונת

1. חשב את הנגזרות החלקיות f _x ו-f _y של הפונקציה f(x, y).
2. בדוק אם f _x ו- f _y קיימים בנקודה הנתונה.
3. ודא את ההמשכיות של f _x ו- f _y בנקודה הנתונה.
4. אם שתי הנגזרות החלקיות קיימות והן רציפות, לפונקציה יש נגזרת מכוונת לכל כיוון.

דוגמא

בואו ניקח בחשבון את הפונקציה f(x, y) = x ² + y ² . אנו רוצים לבדוק אם לפונקציה זו יש נגזרת מכוונת בנקודה P(1, 2).

ראשית, אנו מחשבים את הנגזרות החלקיות:

f _x (x, y) = 2x

f _y (x, y) = 2y

בנקודה P(1, 2), הנגזרות החלקיות הופכות ל:

f _x (1, 2) = 2

f _y (1, 2) = 4

מכיוון ששתי הנגזרות החלקיות קיימות והן רציפות, לפונקציה f(x, y) = x ² + y ² יש נגזרת מכוונת לכל כיוון בנקודה P(1, 2).

סיכום

בדיקת נגזרת מכוונת לכל כיוון היא שלב חיוני בהבנת הדיפרנציאליות של פונקציה בנקודה נתונה. על ידי אימות קיומם והמשכיותן של הנגזרות החלקיות, נוכל לקבוע אם לפונקציה יש נגזרת מכוונת. ידע זה עוזר לנו לנתח את התנהגותן של פונקציות ולפתור בעיות מתמטיות שונות.

למידע נוסף על נושא זה, תוכל לצפות בסרטון הדרכה ב-YouTube: בדיקת נגזרת מכוונת .